Limit

Pengertian Limit

Untuk x mendekati harga tertentu dapat ditentukan nilai pendekatan dari f(x) yang merupakan limit (nilai Batas) dari f(x) tersebut.

CONTOH :

Untuk x mendekati tak berhingga, maka f(a) = 2/x akhirnya akan mendekati 0.

ditulis : l i m 2 = 0
x ® ¥ x

Hasil yang harus dihindari

0/0 ; ¥/¥ ; ¥-¥ ; 0,¥ (*) (bentuk tak tentu)

TEOREMA

1. Jika f(x) = c maka l i m f(x) = c
x ® a
2. Jika l i m f(x) = F dan l i m g(x) = G maka berlaku
x ® a x ® a
a. l i m [f(x) ± g(x)] = l i m f(x) ± l i m g(x) = F ± G
x ® a x ® a x ® a

b. l i m [f(x) • g(x)] = l i m f(x) • l i m g(x) = F • G
x ® a x ® a x ® a

c. l i m k • f(x) = k l i m f(x) = k • F
x ® a x ® a

l i m f(x)
d. l i m f(x) = x ® a = F
x ® a g(x) l i m g(x) G
x ® a


LANGKAH MENCARI LIMIT SUATU FUNGSI

1. Harga yang didekati disubstitusikan ke fangsi yang dimaksud.
Bila bukan (*) maka itulah nilai limitnya.

2. Bila (*) maka usahakan diuraikan.
Pada fungsi pecahan, faktor yang sama pada pembilang dan penyebut (penyebab bentuk (*)) dicoret. Pencoretan im boleh dilakukan, karena x hanya mardekati harga yang diberikan. Kemudian baru harga yang didekati disubstitusikan. Dalam konteks limit perhatikan hasil pembagian berikut :

0/a = 0 ; a/0 = ¥ ; ¥/a = ¥ ; a/¥ = 0 ; ¥ ± a = ¥ (a = konstanta)


Limit Fungsi Trigonometri

KETENTUAN

Untuk x <<< ( x ® 0 ) maka sin x » x
(x <<<> » setara )

l i m sin x = 1 l i m tg x = 1
x ® 0 x x ® 0 x

l i m x = 1 l i m x = 1
x ® 0 sin x x ® 0 tg x

PERLUASAN

l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x ® 0 bx x ® 0 bx

l i m ax = a/b l i m ax = a/b
x ® 0 sin bx x ® 0 tg bx

l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x ® 0 sin bx x ® 0 tg bx


l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x ® 0 tg bx x ® 0 sin bx

Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi:

cos x = sin (90° - x)
ctg x = tg (90° - x)
sin ax = 2 sin ½ax cos ½ax
cos ax = 1- 2 sin² ½ax
cos²x = 1 - sin²x


HAL-HAL KHUSUS

l i m axm + bxm-1 + .... = x ® ¥ pxn + qxn-1 + ...	¥ untuk m > n ; a/p untuk m =n ; 0 untuk m <>
l i m Öax2 + bx + c - Ödx2 + ex + f x ® ¥	¥ untuk a > d ; b-e untuk m =n ; 2Öa -¥ untuk a <>

Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar.


DALIL L'HOSPITAL

Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= a
dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = ¥ maka

l i m f(x) = l i m f(x)
x ® ¥ g(x) x ® a g(x)


CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR

1. l i m x² - 5x + 6 = (3)² - 5(3) + 6 = 0
x ® 3

2. l i m 3x - 2 = ¥ (*) Uraikan
x ® ¥ 2x + 1 ¥

x(3 - 2/x) = 3 - 2/x = 3 - 0 = 3
x(2 - 1/x) 2 + 1/x 2 - 0 2

atau langsung gunakan hal khusus

3. l i m x² - x - 1 = ¥ (*) Uraikan
x ® ¥ 10x + 9 ¥

x(x - 1 - 1/x) = x - 1 - 1/x = ¥ - 1 - 0 = ¥ =¥
x(10 - 9/x) 10 + 9/x 10 + 0 10

atau langsung gunakan hal khusus


4. l i m x² - 3x + 2 = 0 (*) Uraikan
x ® 2 x² - 5x + 6 0

(x - 1)(x - 2) = (x - 1) = 2 - 1 = -1
(x - 3)(x - 2) = (x - 3) = 2 - 3

atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial


5. l i m x³ - 3x² + 3x - 1 = 0 (*) Uraikan
x ® 1 x² - 5x + 6 0

(x - 1)³ = (x - 1)² = (1 - 1)² = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6

atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial



6. l i m Ö² + x - Ö2x = 0 (*) Hilangkan tanda akar dengan
x ® 2 x - 2 0 mengalikan bentuk sekawan

(x - 1)³ = (x - 1)² = (1 - 1)² = 0 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6

atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial



7. l i m (^3x - Ö9x² + 4x) = ¥ - ¥ (*) Hilangkan tanda akar
x ® ¥

l i m (^3x - Ö9x² + 4x ) = é ^3x - Ö9x² + 4x ù = (*) Hilangkan tanda
x ® ¥ ë ^3x - Ö9x² + 4x û akar

l i m (^9x2 - (9x² + 4x) = l i m -4x =
x ® ¥ 3x + Ö(9x² + 4x) x ® ¥ 3x + 3x Ö[1+(a/9x)]

l i m -4 = -4 = -2
x ® ¥ 3 + 3Ö⁽¹ + 0) 6 3

atau langsung gunakan hal khusus

CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

1. l i m sin 2x = 0 (*)
x ® 0 tg 3x 0

sin 2x = 3x 2 = 1 . 1 . 2 = 2
2x tg 3x 3 3 3

2. l i m 1 - cos 2x = 0
x ® 0 sin 2x 0

1 - (1 - 2 sin² 2x) = 2 sin² x = sin x = tg x = 0
2 sin x cos x 2 sin x cos cos x

3. l i m 1 - cos x = 0
x ® 0 3x² 0

2 sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x) = 1 . 1 . 1 = 1
3 . 4 . (½x) 6 (½x) (½x) 6 6

atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial

4. l i m sin x - sin a = 0 (*)
x ® 0 x - a 0

2 cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a) . sin ½(x-a) =
x - a ½ (x - a )

cos ½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a

atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial