Persamaan Kuadrat

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Bentuk umum : ax² + bx + c = 0

x variabel; a,b,c konstanta ; a ¹ 0

Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari harga x yang memenuhi persamaan kudrat (PK) tersebut (disebut akar persamaan kuadrat). Suatu bilangan disebut akar dari suatu persamaan berarti bilangan tersebut memenuhi persamaan.

Andaikan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka x1 dan x2 dapat ditentukan dengan cara

1. Memfaktorkan
   
   ax² + bx + c = 0 ® ax² + bx + c = 0 ® a (x + p/a) (x + p/a) = 0
   ® x1 = - p/a dan x2 = - q/a
   
   dengan p.q = a.c dan p + q = b
   
   
2. Melengkapkan bentuk kuadrat
   persamaan kuadrat tersebut dibentuk menjadi
   (x + p)² = q² ® x + p = ± q
   x1 = q - p dan x2 = - q - p
   
   
3. Rumus ABC
   ax² + bx + c = 0 ® X1,2 = ( [-b ± Ö(b²-4ac)]/2a
   
   bentuk (b² - 4ac) selanjutnya disebut DISKRIMINAN (D) sehingga
   sehingga X1,2 = (-b ± ÖD)/2a

Kemungkinan Jenis Akar Ditinjau Dari Nilai Diskriminan

1. D > 0
   
   x1 = (-b+ÖD)/2a ; x2 = (-b-ÖD)/2a
   
   PK mempunyai dua akar nyata berbeda
   
   
   
2. D = 0
   
   x1 = x2 = -b/2a
   
   PK mempunyai dua akar nyata yang sama
   
   tt
   
3. D <>
   
   Tidak ada harga x yang memenuhi, PK tidak mempunyai akar nyata.

syarat akar nyata/ada/riil : D ³ 0

Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat

Misalkan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan x1 dan x2 adalah akar-akarnya.

Dengan menggunakan akar-akar persamaan kuadrat dari rumus ABC, yaitu:

X1 = (-b+ÖD)/2a dan X2 = (-b-ÖD)/2a

didapat hubungan

X1 + X2 = -b/a

X1.X2 = c/a

X1 - X2 = ÖD/a

Perluasan Untuk Akar-Akar Nyata

1. Kedua akar nyata berlawanan
   
   Maksudnya : X1 = -X2
   
   syarat : D > 0
   X1 + X2 = 0 ® b = 0
   
   Ket: X1 + X2 = 0 ® -b/a = 0 ® b = 0
   
   
   
2. Kedua akar nyata berkebalikan
   
   Maksudnya : X1 = 1/X2
   
   syarat : D ³ 0
   X1 . X2 = 1 ® a = c
   
   Ket: X1 . X2 = 1 ® c/a = 1 ® a = c
   
   
   
3. Kedua akar nyata positif
   
   Maksudnya : X1 > 0 ; X2 > 0
   
   syarat : D ³ 0
   X1 + X2 > 0
   X1 . X2 > 0
   
   
   
4. Kedua akar nyata negatif
   
   maksudnya : X1 <>
   
   syarat: D ³ 0
   X1 + X2 <> 0
   
   
   
5. Kedua akar nyata berlainan tanda
   
   Maksudnya : X1 > 0 ; X2 <>
   
   syarat : D > 0
   X1 . X2 <>Ket: bentuk X1 + X2 bukan merupakan syarat karena hasil dari X1 + X2 tandanya tidak pasti
   
   
   
6. Kedua akar rasional
   
   Maksudnya : X1 dan X2 bukan berbentuk Ö
   
   syarat : D = bentuk kuadrat
   D = (0,1,4,9,16,25...)
   
   Ket: D= bentuk kuadrat akan menghilangkan tanda Ö , sehingga X1 dan X2 rasional

Bentuk-Bentuk Simetris Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Suatu bentuk aljabar disebut simetris, seperti x² + y², jika x dan y dipertukarkan tempatnya menjadi y² + x², maka nilainya sama dengan bentuk semula.

Dalam hal ini kita merubah bentuk yang diberikan menjadi bentuk (X1+X2) atau (X1.X2)

1. X1² + X2²	= (X1 + X2)² - 2X1.X2 = (-b/a)² + 2(c/a)
2. X1³ + X2³	= (X1+X2)³ - 3X1X2(X1+X2) = (-b/a)³ - 3(c/a)(-b/a)
3. X14 + X24	= (X1²+X2²)² -(X1²X2²) = [(X1+X2)² - 2X1X2]² - 2(X1X2)² = [(-b/a)² - 2(c/a)]² - 2(c/a)²
4. X1²X2 + X1X2²	= X1X2(X1+X2) = c/a (-b/c)
5. 1/X1 + 1/X2	= (X1+X2)/X1+X2 = (-b/a)/(c/a) = -b/c
6. X1/X2 + X2/X1	= (X1²+X2²)/X1X2 = ((X1+X2)²-2X1X2)/X1X2
7. (X1-X2)²	= (X1+X2)² - 4X1X2 atau [ÖD/a]² = D/a²
8. X1² - X1²	= (X1+X2)(X1-X2) = (-b/a)(ÖD/a)

Bedakan Istilah

Jumlah Kuadrat : (X1²+X2²)

dengan

Kuadrat Jumlah (X1+X2)²

Menyusun Persamaan Kuadrat

KEDUA AKARNYA KUADRAT

Andaikan akar-akarnya X1 dan X2

1. Mengisikan akar-akarnya kedalam bentuk (X - X1)(X - X2) = 0

2. Menggunakan sifat akar X² - (X1+X2)X + X1 . X2 = 0

KEDUA AKARNYA MEMPUNYAI HUBUNGAN DENGAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT YANG DIKETAHUI

Andaikan X1 dan X2 adalah akar-akar persamaan kuadrat aX²+bX+c=0 yang diketahui

Hubungan tidak beraturan [y1 = f(X1,X2) dan y2 = f(X1,X2)]

Andaikan y1 dan y2 adalah akar-akar persamaan kuadrat baru.

Langkah:

Cari terlebih dahulu nilai dari (y1 + y2) dan (y1 . y2) yang masing-masing merupakan fungsi dari (X1 + X2) atau (X1 . X2) dimana nilai dari (X1 + X2) dan (X1 . X2) didapat dari persamaan kuadrat yang diketahui.

Persamaan Kuadrat baru : y² - (y1 + y2)y + (y1 . y2) = 0

Hubungan beraturan (hal khusus)

Akar-akar baru	Hubungan	PK Baru
p lebihnya (X1+p) dan (X2+p)	y = X + p ® X = y-p	a(y-p)² + b(y-p) + c =0
p kurangnya (X1-p) dan (X2-p)	y = X - p ® X = y + p	a(y+p)² + b(y+p) + c = 0
p kali pX1 dan pX2	y = pX ® X = y/p	a(y/p)²+b(y/p)+c=0
kebalikannya 1/X1 dan 1/X2	y=1/X X= 1/y	a(y/p)² + b(1/y) + c = 0 atau cy²+by+a = 0
kuadratnya X1² dan X2²	y = X² ® X = Öy	a(Öy)² + b(Öy) + c = 0 atau a²y + (2ay-b²)y + c² = 0